matematik formler

vinkler

ret vinkel

en vinkel der måler præcis 90 grader

$90^\circ$

hvis du folder et papir i halvdelen, er vinklen mellem de to flader 90°

trekant indre vinkelsum

summen af alle tre vinkler i en trekant er altid 180 grader

$a+b+c = 180^\circ$

hvis vinkel a = 50° og vinkel b = 60°, så er vinkel c = 180° - 50° - 60° = 70°

polygoners indre vinkelsum

for at finde summen af alle indre vinkler i en polygon, træk 2 fra antal hjørner og gang med 180

$(n-2)\times180^\circ$

en femkant har 5 hjørner: (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540°

hver ydre vinkel (regelmæssig polygon)

i en regelmæssig polygon er alle ydre vinkler ens, og de summer til 360 grader

$360^\circ/n$

en femkant har 5 hjørner: 360° ÷ 5 = 72° per ydre vinkel

toppunktvinkler

når to linjer skærer hinanden, er modsatte vinkler lige store

$\alpha = \gamma$ og $\beta = \delta$

hvis vinkel α = 40°, så er vinkel γ også 40°

nabovinkler

to vinkler der ligger ved siden af hinanden på en ret linje summer til 180 grader

$\alpha + \beta = 180^\circ$

hvis vinkel α = 120°, så er nabovinklen β = 180° - 120° = 60°

periferivinkler

en perifervinkel er halvt så stor som den centervinkel der spænder over samme bue

$\text{perifervinkel} = \tfrac{1}{2}\times\text{centervinkel}$

hvis centervinklen er 80°, så er perifervinklen 80° ÷ 2 = 40°

centervinkler

en centervinkel er dobbelt så stor som en perifervinkel over samme bue

$\text{centervinkel} = 2\times\text{perifervinkel}$

hvis perifervinklen er 35°, så er centervinklen 35° × 2 = 70°

geometri

cirkel omkreds

længden hele vejen rundt om en cirkel

$2\pi r$

en cirkel med radius 3 cm: omkreds = 2 × 3.14159 × 3 ≈ 18.85 cm

cirkel areal

fladeindholdet inde i en cirkel

$\pi r^2$

en cirkel med radius 3 cm: areal = 3.14159 × 3² = 3.14159 × 9 ≈ 28.27 cm²

rektangel areal

fladeindholdet af et rektangel ved at gange længde med bredde

$l \times w$

et rektangel med længde 4 m og bredde 5 m: areal = 4 × 5 = 20 m²

trekant areal

fladeindholdet af en trekant ved at gange grundlinje med højde og dividere med 2

$\tfrac{1}{2}bh$

en trekant med grundlinje 10 cm og højde 6 cm: areal = (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm²

sfære volumen

hvor meget plads der er inde i en kugle

$\tfrac{4}{3}\pi r^3$

en kugle med radius 2 cm: volumen = (4 ÷ 3) × 3.14159 × 2³ = 1.333 × 3.14159 × 8 ≈ 33.51 cm³

cylinder volumen

hvor meget plads der er inde i en cylinder

$\pi r^2h$

en cylinder med radius 2 cm og højde 5 cm: volumen = 3.14159 × 2² × 5 = 3.14159 × 4 × 5 ≈ 62.83 cm³

pythagoras

i en retvinklet trekant, hvis du kvadrerer de to korte sider og lægger dem sammen, får du kvadratet af den lange side

$a^2+b^2=c^2$

en retvinklet trekant med sider 3 cm og 4 cm: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, så c = √25 = 5 cm

pythagoras omvendt (find a)

hvis du kender hypotenusen c og den ene katete b, kan du finde den anden katete a

$a^2 = c^2-b^2$

hvis c = 5 cm og b = 4 cm: a² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9, så a = √9 = 3 cm

pythagoras omvendt (find b)

hvis du kender hypotenusen c og den ene katete a, kan du finde den anden katete b

$b^2 = c^2-a^2$

hvis c = 5 cm og a = 3 cm: b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, så b = √16 = 4 cm

algebra

distributiv lov

når du ganger et tal med en sum, kan du gange tallet med hvert led i summen

$a(b+c)=ab+ac$

2(x + 3) betyder at du ganger 2 med både x og 3: 2x + 6

potensregler

når du ganger to potenser med samme grundtal, lægger du eksponenterne sammen

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2³ × 2² = 2⁽³⁺²⁾ = 2⁵ = 32

kvadratsætninger

når du kvadrerer en sum, får du første led i anden plus dobbelt produkt plus andet led i anden

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9

ligninger

lineær ligning

en ligning med x i første potens kan løses ved at isolere x

$ax+b=0 → x=-b/a$

2x + 4 = 0, flyt 4 til højre side: 2x = -4, divider med 2: x = -2

kvadratisk ligning

en ligning hvor den højeste potens af x er 2

$ax^2+bx+c=0$

x² - 5x + 6 = 0 har to løsninger: x = 2 og x = 3 (fordi (x-2)(x-3) = 0)

diskriminant

fortæller hvor mange løsninger en kvadratisk ligning har: hvis D > 0 er der to løsninger, D = 0 giver én løsning, D < 0 giver ingen reelle løsninger

$D = b^2-4ac$

for x² - 5x + 6: D = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1, så der er to løsninger

rødder

formlen til at finde x-værdierne i en kvadratisk ligning

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

for x² - 5x + 6: x = (5 ± √1) ÷ 2 = (5 ± 1) ÷ 2, så x = 3 eller x = 2

vietas formler (sum af rødder)

summen af de to rødder i en kvadratisk ligning

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

for x² - 5x + 6: sum = -(-5) ÷ 1 = 5, og faktisk er 2 + 3 = 5

vietas formler (produkt af rødder)

produktet af de to rødder i en kvadratisk ligning

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

for x² - 5x + 6: produkt = 6 ÷ 1 = 6, og faktisk er 2 × 3 = 6

faktorisering

hvis du kender rødderne, kan du skrive ligningen som et produkt

$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$

x² - 5x + 6 med rødder 2 og 3: (x - 2)(x - 3) = 0

ligningssystem (substitution)

løs den ene ligning for en variabel og indsæt i den anden

$y = f(x)$ → indsæt i anden ligning

y = 2x og x + y = 9: indsæt 2x for y: x + 2x = 9, så 3x = 9, x = 3, y = 6

ligningssystem (elimination)

gang ligninger så en variabel kan elimineres ved addition eller subtraktion

træk/læg ligninger sammen

2x + y = 7 og x - y = 2: læg sammen: 3x = 9, så x = 3, indsæt: y = 1

statistik

gennemsnit

lægger alle tallene sammen og dividerer med hvor mange tal der er

$\frac{\text{sum af værdier}}{n}$

tallene [2, 3, 3, 5]: (2 + 3 + 3 + 5) ÷ 4 = 13 ÷ 4 = 3.25

median

det midterste tal når alle tal er sorteret

midterste værdi

tallene [2, 3, 3, 5] er allerede sorteret, midten er mellem 3 og 3, så median = 3

typetal

det tal der forekommer flest gange

hyppigste værdi

tallene [2, 3, 3, 5]: tallet 3 forekommer to gange mens resten kun én gang, så typetal = 3

sandsynlighed

chancen for at noget sker, som et tal mellem 0 og 1 (eller 0% til 100%)

$P = \tfrac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$

hvis der er 3 røde kugler ud af 10 kugler i alt: P = 3 ÷ 10 = 0.3 eller 30%

andre formler

procent

hvor stor en del af helheden er, udtrykt som tal ud af 100

$\tfrac{\text{del}}{\text{helhed}}\times100$

20 rigtige svar ud af 50 spørgsmål: (20 ÷ 50) × 100 = 0.4 × 100 = 40%

ændring i %

hvor meget noget er steget eller faldet i forhold til den oprindelige værdi

$\tfrac{ny-gammel}{gammel}\times100$

pris stiger fra 10 kr til 15 kr: (15 - 10) ÷ 10 × 100 = 5 ÷ 10 × 100 = 50% stigning

hastighed

hvor langt noget bevæger sig per tidsenhed

$v = d/t$

hvis du kører 100 km på 20 timer: hastighed = 100 ÷ 20 = 5 km/t

distance

hvor langt noget bevæger sig når hastighed og tid er kendt

$d = vt$

hvis du kører med 5 km/t i 20 timer: distance = 5 × 20 = 100 km

tid

hvor lang tid det tager at rejse en bestemt distance med en given hastighed

$t = d/v$

hvis du skal køre 100 km med 5 km/t: tid = 100 ÷ 5 = 20 timer